Question

【题目】已知函数，，其中是自然对数的底数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）若函数在区间上为单调函数，求的取值范围；

（3）当时，试判断方程是否有实数解，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）极小值为，无极大值

（2）或

（3）无实根，理由见解析

【解析】

（1）当时，求导数，确定函数的单调性，即可求函数的极值；

（2）函数在区间上为单调函数等价于或在区间上恒成立，再利用分离变量最值法即可得解；

（3）当时，可变形为，再左右分别构造函数求最值即可得解.

解：（1）当时，

，则，

当时，，时，，

即函数的减区间为，增区间为，

即函数的极小值为，无极大值；

（2）由函数，

则，

由函数在区间上为单调函数，

则或在区间上恒成立，

即或在区间上恒成立，

设，，则，

当时，，

即函数在为减函数，

则，

即或，

即或，

故的取值范围为或；

（3）当时，方程没有实数解

理由如下：

当时，，

则即为，

令，，

当时，，当时，，

即函数的增区间为，减区间为，

即，

即，

令，

则，

当时，，当时，，

即函数的增区间为，减区间为，

即，

则，

即无实数解，

故当时，方程没有实数解.