Question

已知二次函数f（x）=-x²+bx（（b为常数）满足条件：方程f（x）=2x有两个相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]？如果存在，请求出来．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）=2x，得到-x²+（b-2）x=0，根据△=0，解出b的值即可；（2）结合二次函数的性质得到方程组解出即可．

解答： 解：（1）由f（x）=2x得-x²+（b-2）x=0，
因为方程f（x）=2x有两个相等的实数根，则（b-2）²=0，
即b=2，
∴f（x）=-x²+2x；
（2）∵f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1≤1，
∴4n≤1即n≤

1

4

，
又函数f（x）的对称轴为x=1，
∴n≤

1

4

，函数f（x）在区间[m，n]单调递增，
若满足题意的m，n存在，则

f(m)=4m f(n)=4n

，
即

-m2+2m=4m -n2+2n=4n

，
解得

m=0或-2 n=0或-2

，
又m＜n≤

1

4

，
∴m=-2，n=0，
此时定义域为[-2，0]，值域为[-8，0]．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了根的判别式，是一道中档题．