Question

已知f（x）=e^x-e^-x-2x．
（Ⅰ）证明：f（x）是奇函数；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+e^-x，求g（x）在[0，2]上的最值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数奇偶性的判断

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由奇函数的定义判断即可；
（Ⅱ）利用导数判断函数的单调性，进而可求得函数的最值．

解答： （Ⅰ）证明：∵f（x）=e^x-e^-x-2x．
∴函数的定义域为R，
又∵f（-x）=-e^x+e^-x+2x=-（e^x-e^-x-2x）=-f（x）．
∴函数f（x）=e^x-e^-x-2x是奇函数．
（Ⅱ）解：∵g（x）=f（x）+e^-x=e^x-2x，
∴g′（x）=e^x-2，
∴当x∈[0，ln2]时，g′（x）＜0，当x∈（ln2，2]时，g′（x）＞0，
又g（0）=1，g（ln2）=2-2ln2，g（2）=e²-4，
∴g（x）_min=g（ln2）=2-2ln2，g（x）_max=g（2）=e²-4．

点评：本题主要考查函数的奇函数的判断及利用导数判断函数的单调性，求函数最值等知识，属于中档题．