Question

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=3，若S_n=λa_n-

1

2

，且{a_n}为递增数列，则λ=

 

．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：利用已知条件求出数列的首项，结合数列{a_n}为递增数列推出关系式，即可得到λ的范围．利用等比数列求出λ的值．

解答： 解：∵S_n=λa_n-

1

2

，
∴当n=1时，a₁=λa₁-

1

2

，∴a1=

1

2(λ-1)

，
{a_n}为递增数列，∴0＜

1

2(λ-1)

＜3，可得λ＞

7

6

．
当n=3时，a₁+a₂+a₃=λa₃-

1

2

，解得a₃=

7λ-6

2(λ-1)2

．
∵数列{a_n}是等比数列，
∴

a

2 2

=a1•a3．
∴9=

1

2(λ-1)

•

7λ-6

2(λ-1)2

，
化为36（λ-1）³-7（λ-1）-1=0，
令λ-1=t，上式化为：[36t²+18t+2]（t-

1

2

）=0，
∵36t²+18t+2＞0恒成立，
∴t=

1

2

，即λ=

3

2

＞

7

6

．
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查数列与函数的综合应用，数列的递推关系式的应用，数列的函数特征，考查转化思想以及计算能力．