Question

12．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距为4，左右焦点分别为F₁，F₂，且经过点（-3，2$\sqrt{6}$）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若P为双曲线上的一点，且|PF₁||PF₂|=8，求△PF₁F₂的周长．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a²+b²=4，代入点（-3，2$\sqrt{6}$），得到a，b的方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程；
（2）运用双曲线的定义，结合条件，可得|PF₁|+|PF₂|=6，再由三角形的周长，计算即可得到所求．

解答 解：（1）由题意可得c=2，a²+b²=4，
代入点（-3，2$\sqrt{6}$），可得$\frac{9}{{a}^{2}}$-$\frac{24}{{b}^{2}}$=1，
解得a=1，b=$\sqrt{3}$，
即有双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）又双曲线的定义可得，||PF₁|-|PF₂||=2a=2，
又|PF₁|•|PF₂|=8，
可得（|PF₁|+|PF₂|）²=（|PF₁|-|PF₂|）²+4|PF₁|•|PF₂|
=4+32=36，
即有|PF₁|+|PF₂|=6，
则△PF₁F₂的周长为|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=6+4=10．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用代入法，考查三角形的周长的求法，注意运用双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．