Question

4．已知椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，长轴长为4，过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线l交椭圆G于A，B两点
（1）求椭圆G的方程；
（2）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2a=4}\\{{a}^{2}={c}^{2}+{b}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）设切线l的方程为：ty=x-m．|m|≥1．则$\frac{|m|}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$=1，可得m²=t²+1．与椭圆方程联立化为：（t²+4）y²+2tmy+m²-4=0，△＞0，4+t²＞m²，利用根与系数的关系可得|AB|=$\sqrt{（1+{t}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2a=4}\\{{a}^{2}={c}^{2}+{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1．
∴椭圆G的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）设切线l的方程为：ty=x-m．|m|≥1．
则$\frac{|m|}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$=1，∴m²=t²+1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{ty=x-m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：（t²+4）y²+2tmy+m²-4=0，
△＞0，可得4+t²＞m²，
∴y₁+y₂=$\frac{-2tm}{{t}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-4}{{t}^{2}+4}$，
|AB|=$\sqrt{（1+{t}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{t}^{2}）[\frac{4{t}^{2}{m}^{2}}{（{t}^{2}+4）^{2}}-\frac{4（{m}^{2}-4）}{{t}^{2}+4}]}$=$\frac{4\sqrt{3}|m|}{{m}^{2}+3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{|m|+\frac{3}{|m|}}$≤$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$=2，当且仅当|m|=$\sqrt{3}$时取等号．
此时|AB|取得最大值2．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的充要条件、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．