Question

20．如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC．
（1）求证：OD∥平面PAB；
（2）当k=$\frac{1}{2}$时，求直线PA与平面PBC所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）根据条件便可得到OD∥PA，从而根据线面平行的判定定理即可得出OD∥平面PAB；
（2）可连接OB，容易得到OB，OC，OP三直线两两垂直，从而可分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．可设AB=1，这样根据条件即可求出图形上一些点的坐标，从而得出向量$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{BP}$的坐标，可设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$即可求出$\overrightarrow{m}$，若设直线PA与平面PBC所成角为θ，则根据sinθ=$|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{BP}＞|$便可求出sinθ，进而便可得到直线PA与平面PBC所成角的大小．

解答 解：（1）点O，D分别是AC，PC的中点；
∴OD∥PA；
又PA?平面PAB；
∴OD∥平面PAB；
（2）连接OB，则OB⊥AC，又OP⊥底面ABC；
∴OB，OC，OP三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系：
设AB=1，则AC=$\sqrt{2}$，PA=2，AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$OP=\frac{\sqrt{14}}{2}$，OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴可得到以下几点坐标：
A（$0，-\frac{\sqrt{2}}{2}，0$），$P（0，0，\frac{\sqrt{14}}{2}），B（\frac{\sqrt{2}}{2}，0，0），C（0，\frac{\sqrt{2}}{2}，0）$；
∴$\overrightarrow{PA}=（0，-\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{14}}{2}）$，$\overrightarrow{BC}=（-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}，0），\overrightarrow{BP}=（-\frac{\sqrt{2}}{2}，0，\frac{\sqrt{14}}{2}）$；
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{14}}{2}z=0}\end{array}\right.$；
取x=1，则y=1，z=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，∴$\overrightarrow{m}=（1，1，\frac{\sqrt{7}}{7}）$；
设直线PA与平面PBC所成角为θ，则sinθ=$|cos＜\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{m}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{m}|}=\frac{\sqrt{2}}{2•\sqrt{\frac{15}{7}}}=\frac{\sqrt{210}}{30}$；
∴直线PA与平面PBC所成角的大小为$arcsin\frac{\sqrt{210}}{30}$．

点评 考查线面平行的判定定理，三角形中位线的性质，等腰三角形的中线也是高线，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决直线和平面所成角问题的方法，平面法向量的概念，以及能求空间点的坐标，向量夹角的余弦公式的坐标运算．