【题目】已知函数.
(1)若曲线在点
处的切线斜率为1,求函数
在
上的最值;
(2)令,若
时,
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)当且
时,证明
.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)
; (Ⅲ)证明过程见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)根据曲线在点
处的切线斜率为1,可求出参数
的值,再对导函数
在
的正负,求出
在
上单调性,即可求出
的最值;(Ⅱ)由
,构造辅助函数
,再对
进行求导,讨论
的取值范围,利用函数单调性判断函数的最值,进而确定
的取值范围;(Ⅲ)构造辅助函数
,求导
,求出在
的单调性,可求出
的最小值,即可证明不等式成立.
试题解析:(Ⅰ)∵,∴
,∴
,
∴,记
,∴
,令
得
.
当时,
单减;当
时,
单增,
∴,
故恒成立,所以
在
上单调递增,
∴.
(Ⅱ)∵,∴
.
令,∴
,
当时,
,∴
在
上单增,∴
.
(i)当即
时,
恒成立,即
,∴
在
上单增,
∴,所以
.
(ii)当即
时,∵
在
上单增,且
,
当时,
,
∴,使
,即
.
当时,
,即
单减;
当时,
,即
单增.
∴,
∴,由
,∴
,记
,
∴,∴
在
上单调递增,
∴,∴
,
综上,.
(Ⅲ)等价于
,
即.
∵,∴等价于
.
令,
则.
∵,∴
.
当时,
,
单减;
当时,
,
单增.
∴在
处有极小值,即最小值,
∴,
∴且
时,不等式
成立.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】近年来我国电子商务行业迎来篷勃发展的新机遇,2016年双11期间,某购物平台的销售业绩高达一千多亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.
(Ⅰ)请完成如下列联表;
(Ⅱ)是否可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关?
(Ⅲ)若针对商品的好评率,采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易,并从中选择两次交易进行客户回访,求只有一次好评的概率.
(,其中
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数.
(1)当时,函数
与
在
处的切线互相垂直,求
的值;
(2)若函数在定义域内不单调,求
的取值范围;
(3)是否存在正实数,使得
对任意正实数
恒成立?若存在,求出满足条件的实数
;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为
,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.
(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);
(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,
满足关系
(其中
是常数).
()如果
,
,求函数
的值域;
()如果
,
,且对任意
,存在
,
,使得
恒成立,求
的最小值;
()如果
,求函数
的最小正周期(只需写出结论).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),对于x∈R恒成立,且f(x)=0的两个实数根的平方和为10,f(x)的图象过点(0,3),求f(x)的解析式.
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