Question

已知sinα-cosα=

1

2

，且α∈（0，π），则

cos2α

sin(α- π 4 )

的值为

-

14

2

．

Answer 1

分析：先根据sinα-cosα=

1

2

及α的取值范围求出sinα+cosα的值，再把

cos2α

sin(α- π 4 )

化简，最后化成-

2

（sinα+cosα），把（sinα+cosα）的值代入即可．

解答：解：∵sinα-cosα=

1

2

，∴（sinα-cosα）²=

1

4

，
化简得，sin²α+cos²α-2sinαcosα=

1

4

，
∵sin²α+cos²α=1，∴有1-2sinαcosα=

1

4

，2sinαcosα=

3

4

，
∴（sinα+cosα）²=sin²α+cos²α+2sinαcosα=1+

3

4

=

7

4

，
∵α∈（0，π），2sinαcosα=

3

4

，∴sinα＞0，cosα＞0，
∴sinα+cosα＞0，
∴sinα+cosα=

7

2

．

cos2α

sin(α- π 4 )

=

cos2α-sin2α

sinαcos π 4 -cosαsin π 4

=

(cosα-sinα)(cosα+sinα)

2 2 (sinα -cosα)

=

-(cosα+sinα)

2 2

=-

2

（sinα+cosα）=-

14

2

故答案为-

14

2

点评：本题主要考查了利用同角三角函数关系式，已知sinα-cosα的值，求sinα+cosα的值，以及利用两角的和差的三角函数化简求值，考查学生综合运用公式的能力．