Question

5．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x（其中a＜0）．
（Ⅰ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对满足条件的a的任意值，f（x）＜b在区间（0，1]上恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数的导数，结合函数的单调性以及二次函数的性质，从而求出a的范围；
（Ⅱ）分离出b，问题转化为b＞φ（x）=$\frac{1}{2}x2+lnx-x$恒成立，通过求出函数φ（x）的最大值，从而求出b的范围．

解答 解：（Ⅰ）  f′（x）=$\frac{1}{x}-ax-2=-\frac{ax2+2x-1}{x}$，x＞0．
因为f（x）存在单调递减区间，所以f′（x）≤0在区间（0，+∞）上有解，
即ax²+2x-1≥0在区间（0，+∞）上有解，
由于a＜0，且函数g（x）=ax²+2x-1的图象过定点（0，-1），
且对称轴x=$-\frac{1}{a}＞0$，故只需△=4+4a≥0，即a≥-1，
所以，a的取值范围为[-1，0）．               
（Ⅱ） f（x）＜b即lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x＜b，
因为对任意的a∈[-1，0），不等式lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x＜b恒成立，
所以-$\frac{1}{2}$x²a+（lnx-2x-b）＜0在a∈[-1，0）恒成立，
因为函数g（a）=-$\frac{1}{2}$x²a+（lnx-2x-b） 在a∈[-1，0）上单调递减，
所以g（-1）=-$\frac{1}{2}$x²（-1）+（lnx-2x-b）＜0恒成立，即b＞$\frac{1}{2}$x²+lnx-2x恒成立，
也就是：b＞（$\frac{1}{2}$x²+lnx-2x）_max，
令φ（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx-2x，则φ′（x）=x-2+$\frac{1}{x}$=$\frac{（x-1）2}{x}$≥0，
∴φ（x）在（0，1]上单调递增，∴φ（x）_max=φ（1）=$-\frac{3}{2}$，
所以，实数b的取值范围为（-$\frac{3}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、函数的最值问题，考查导数的应用，画出恒成立问题，是一道中档题．