Question

如图，已知椭圆C：

x2

16

+

y2

12

=1的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M．
（1）若AM=MN，求∠AMB的余弦值；
（2）设过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，当线段PQ的中点坐标为（0，9）时，求这个圆的方程．

Answer 1

分析：（1）根据统一可知直线l的方程，设N（8，t）（t＞0），因为AM=MN，所以M（2，

t

2

），由M在椭圆上，得t=6．可求出点M的坐标，求出向量

MA

，

MB

，然后利用向量的夹角公式进行求解即可；
（2）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，将A，F，N三点坐标代入，即可求出圆的方程，令x=0，得y2-(t+

72

t

)y-8=0，最后根据线段PQ的中点坐标为（0，9），t+

72

t

=18求出t，从而求出圆的方程．

解答：解：（1）由已知，A（-4，0），B（4，0），F（2，0），直线l的方程为x=8．
设N（8，t）（t＞0），因为AM=MN，所以M（2，

t

2

）．
由M在椭圆上，得t=6．故所求的点M的坐标为M（2，3）．（4分）
所以

MA

=(-6，-3)，

MB

=(2，-3)，

MA

•

MB

=-12+9=-3．cos∠AMB=

MA • MB

| MA || MB |

=

-3

36+9 • 4+9

=-

65

65

．（7分）
（2）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，将A，F，N三点坐标代入，
得

16-4D+F=0 4+2D+F=0 64+t2+8D+Et+F=0

?

D=2 E=-t- 72 t F=-8.

∵圆方程为x2+y2+2x-(t+

72

t

)y-8=0，令x=0，得y2-(t+

72

t

)y-8=0．（11分）
设P（0，y₁），Q（0，y₂），则y1、2=

t+ 72 t ± (t+ 72 t )2+32

2

．
由线段PQ的中点坐标为（0，9），得y₁+y₂=18，t+

72

t

=18．
此时所求圆的方程为x²+y²+2x-18y-8=0．（15分）

点评：本题主要考查了椭圆的性质以及利用向量法求夹角，同时考查了圆的方程，分析问题解决问题的能力，属于中档题．