Question

从某高校新生中随机抽取100名学生，测得身高情况（单位：cm）并根据身高评定其发育标准如右表所示：
（Ⅰ）请在频率分布表中的①、②位置上填上相应的数据，估计该批新生中发育正常或较好的概率；
（Ⅱ）按身高分层抽样，现已抽取20人准备参加世博会志愿者活动，其中有3名学生担任迎宾工作，记“这3名学生中身高低于170cm的人数”为ξ，求ξ的分布列及期望．

分组	频数	频率	评定类型
[160，165）	5	0.05	发育不良
[165，170）	①	0.200	发育一般
[170，175）	35	②	发育正常
[175，180）	30	0.300	发育较好
[180，185）	10	0.100	发育超常
合计	100	1.00

Answer 1

分析：（I）由题意及分布表性质可知：①处填20，②处填0.35，再有互斥事件的概率公式可知该批新生中发育正常或较好的概率值P；
（II）有与（I）及统计中分层抽样的方法，从中选取20人，则其中“身高低于170”得有5人，身高鼻地狱170cm“的有15人，故由题意ξ的可能值为：1，2，3，利用随机变量的定义及古典概型随机事件的概率公式即可求得随机变量的分布列及期望．

解答：解：（I）有频率分布表性质可知：①处填20，②处填0.35，
       设该批新生中发育正常或较好的概率为P，则根据频率分布表可知P=0.35+0.3=0.65，；
（II）用分层抽样的方法，从中选取20人，则其中“身高低于170”得有5人，身高鼻地狱170cm“的有15人，故由题意ξ的可能值为：1，2，3且
P（ξ=0）=

C 3 15

C 3 20

=

91

228

，P（ξ=1）=

C 2 15 C 1 5

C 3 20

=

35

76

，P（ξ=2）=

C 1 15 C 2 5

C 3 20

=

5

38

，P（ξ=3）=

C 3 5

C 3 20

=

1

114

，
所以随机变量ξ的分布列为：

所以随机变量ξ的期望Eξ=0×

91

228

+1×

35

76

+2×

5

38

+3×

1

114

 =

3

4

．

点评：此题考查了频率分布直方图的性质，互斥事件同时发生的概率公式，还考查有统计中的分层抽样，及随机变量的分布列与期望定义，此题属于容易得分的题目．但一定注意计算中别数据出错．