Question

若f（x）=

1+cos2x

sin( π 2 -x)

•sin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx，
（1）求f（x）的周期和单调递增区间；
（2）若锐角△ABC的三内角A，B，C成等差数列，求f（A）的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角诱导公式公式化简函数，然后求f（x）的周期和单调增区间．
（2）若锐角△ABC的三内角A，B，C成等差数列，即可求出A的取值范围，进一步可求得f（A）的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=

1+cos2x

sin( π 2 -x)

•sin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx
=2cosxsinx+

3

cos²x-

3

sin²x
=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
故f（x）的周期为：π．
因为y=sinx的单调增区间为[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]k∈Z
所以：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，解得x∈[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）
故答案为：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）
（2）若锐角△ABC的三内角A，B，C成等差数列，
则有0＜A≤

π

3

⇒0＜2A+

π

3

≤π．
由f（x）=2sin（2x+

π

3

）的图象可知0＜f（x）≤2．
所以f（A）的取值范围（0，2]．

点评：本题考查正弦函数的单调性，余弦函数的单调性，利用基本函数的单调增区间，求复合函数的单调增区间、周期和值域．属于中档题．