Question

（Ⅰ）设a，b均为正数，且a≠b，求证：a³+b³＞a²b+ab²．
（Ⅱ）已知a，b，c∈R⁺求证：

a2+b2+c2 3

≥

a+b+c

3

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：不等式

分析：（Ⅰ）利用作差法证明不等式，用不等式的左边减右边，并提取公因式及利用上平方差公式得到：a³+b³-（a²b+ab²）=（a-b）²（a+b）．因为a，b＞0，且a≠b，所以得到（a-b）²（a+b）＞0，这样即证出了该问的结论；
（Ⅱ）因为a，b，c＞0，所以想着对该不等式两边平方，比较平方后的左右两边的大小，用作差法比较：通过平方再作差并应用上完全平方式得

a2+b2+c2

3

-(

a+b+c

3

)2=

(a-b)2+(b-c)2+(a+c)2

9

≥0，所以便证得该问的结论．

解答： 证明：（Ⅰ）a³+b³-a²b-ab²=（a³-a²b）+（b³-ab²）=a²（a-b）+b²（b-a）=（a-b）（a²-b²）=（a-b）²（a+b）；
∵a＞0，b＞0，a≠b，∴（a-b）²（a+b）＞0，即a³+b³-a²b-ab²＞0；
∴a³+b³＞a²b+ab²；
（Ⅱ）∵

a2+b2+c2

3

-(

a+b+c

3

)2=

a2+b2+c2

3

-

a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

9

=

2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac

9

=

a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2

9

=

(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2

9

，∵（a-b）²≥0，（b-c）²≥0，（a-c）²≥0，∴

(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2

9

≥0；
即：

a2+b2+c2

3

≥(

a+b+c

3

)2，∵a，b，c∈R⁺；
∴

a2+b2+c2 3

≥

a+b+c

3

．

点评：考查作差法证明不等式，平方差公式，以及平方后再作差的方法证明不等式．