Question

在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别是a，b，c，且c=2

7

，C=

π

3

．
（1）若sinB=3sinA，求△ABC的面积；
（2）若sinA+sinB的最大值为

3

，求A与B的大小．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用正弦定理化简sinB=3sinA，得到b=3a，与余弦定理a²+b²-ab=4联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
（2）利用已知条件得到A+B=

2π

3

，利用两角和与差的三角函数化简sinA+sinB，通过sinA+sinB的最大值为

3

，即可求A与B的大小

解答： 解：（1）（2）由正弦定理，把sinB=3sinA化为b=3a，
联立方程组

b=3a a2+b2-ab=28

，
解得：a=2，b=6，
又sinC=

3

2

，
则△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×2×6×

3

2

=3

3

．
（2）∵C=

π

3

，∴A+B=

2π

3

，
∴sinA+sinB=sinA+sin（

2π

3

-A）=sinA+

1

2

sinA+

3

2

cosA=

3

sin（A+

π

3

），
它的最大值为：

3

，∴A+

π

3

=

π

2

∴A=

π

6

，B=

π

2

．

点评：本题考查正弦定理两角和与差的三角函数，正弦函数的最值的求法，考查计算能力．