Question

已知命题p：关于x的不等式mx²+mx+1＞0的解集为R，命题q：f（x）=-（5-2m）^x是减函数，若“p∨q”为正命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：先求出命题p，q下的m的取值范围，再根据p∨q为真命题，p∧q为假命题知：p，q中一真一假，所以分p真q假，和p假q真两种情况，分别求出两种情况下的m取值，再求并集即可．

解答： 解：命题p：关于x的不等式mx²+mx+1＞0的解集为R，∴m＞0且△=m²-4m＜0，解得0＜m＜4；
命题q：f（x）=-（5-2m）^x是减函数，则5-2m＞0，∴f′（x）=-（5-2m）^xln（5-2m）＜0，∴ln（5-2m）＞0，∴5-2m＞1，m＜2；
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题；
∴p，q中一真一假；
∴若p真q假，则：0＜m＜4且m≥2，∴2≤m＜4；
若p假q真，则：m≤0，或m≥4，且m＜2，∴m≤0；
∴实数m的取值范围为[2，4）∪（-∞，0]．

点评：考查一元二次不等式的解和判别式△的关系，指数函数的单调性，p∨q，p∧q的真假与p，q真假的关系．