Question

已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x²．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=

f(x)+1，x≥0 1，        x＜0

，求满足g（1-x）＞g（2）的x的取值范围；
（3）若对任意的x∈[a，a+2]，不等式f（a-x）+2f（x）≤0恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的性质即可求f（x）的解析式；
（2）求出函数g（x）的表达式，解不等式g（1-x）＞g（2）即可求x的取值范围；
（3）根据函数的奇偶性和单调性之间的关系将不等式f（a-x）+2f（x）≤0恒成立进行转化即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，
当x＜0，则-x＞0，
则f（-x）=x²=-f（x），
则f（x）=-x²．
则f（x）=

x2， x≥0 -x2， x＜0

；
（2）g（x）=

f(x)+1，x≥0 1，        x＜0

=

x2+1， x≥0 1， x＜0

，
则当x≥0时，函数单调递增，
当1-x＜0时，g（1-x）=1，g（2）=5，
此时不等式g（1-x）＞g（2）不成立，
若1-x≥0，函数单调递增，则不等式g（1-x）＞g（2）等价为

1-x≥0 1-x＞2

，
即

x≤1 x＜-1

，解得x＜-1，
即x的取值范围是（-∞，-1）；
（3）∵f（x）=

x2， x≥0 -x2， x＜0

；
∴2f（x）=f（

2

x），
若对任意的x∈[a，a+2]，不等式f（a-x）+2f（x）≤0恒成立，
等价为2f（x）≤-f（a-x）=f（x-a），
即f（

2

x）≤f（x-a），
∵函数f（x）=

x2， x≥0 -x2， x＜0

在定义域R上单调递增，
∴f（

2

x）≤f（x-a）在x∈[a，a+2]恒成立，
等价为

2

x≤x-a在x∈[a，a+2]恒成立，
即-a≥（

2

-1）x，
∵x∈[a，a+2]，
∴-a≥（

2

-1）（a+2），
即-

2

a≥2（

2

-1），
解得a≤

2

-2．

点评：本题主要考查考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数之间的关系将不等式恒成立进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．