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    设正实数a、b满足a+b=ab，证明：
    a
    b2+4
    +
    b
    a2+4
    ≥
    1
    2
    ．
    考点：不等式的证明
    专题：不等式
    分析：因为a＞0，b＞0，所以
    a
    b2+4
    +
    b
    a2+4
    ≥2
    ab
    (b2+4)(a2+4)
    ，并且可将2
    ab
    (b2+4)(a2+4)
    变成2
    1
    ab+
    16
    ab
    +4ab-8
    ，由a+b=ab能得到ab≥4，4ab≥16，又ab+
    16
    ab
    ≥8    ，所以得到2
    1
    ab+
    16
    ab
    +4ab-8
    ≤
    1
    2
    ，即2
    1
    ab+
    16
    ab
    +4ab-8
    的最大值为
    1
    2
    ，所以便得到要证的结论．
    解答： 证：由已知条件得：
    a
    b2+4
    +
    b
    a2+4
    ≥2
    ab
    (b2+4)(a2+4)
    =2
    ab
    a2b2+4(a2+b2)+16
    =2
    ab
    a2b2+4[(a+b)2-2ab]+16
    =2
    ab
    a2b2+16+4a2b2-8ab
    =2
    1
    ab+
    16
    ab
    +4ab-8
    ；
    ∵a，b＞0，∴ab=a+b≥2
    		ab
    ，即ab≥2
    		ab
    ，∴ab≥4，4ab≥16，当a=b时取“=“；
    又ab+
    16
    ab
    ≥2
    		16
    =8    ，当ab=4时取“=“；
    ∴ab+
    16
    ab
    +4ab-8≥16    ，0＜
    1
    ab+
    16
    ab
    +4ab-8
    ≤
    1
    16
    ，
    ∴2
    1
    ab+
    16
    ab
    +4ab-8
    ≤
    1
    2
    ，即2
    1
    ab+
    16
    ab
    +4ab-8
    的最大值为
    1
    2
    ；
    ∴
    a
    b2+4
    +
    b
    a2+4
    ≥
    1
    2
    ．
    点评：考查基本不等式：a+b≥2
    		ab
    ，a＞0，b＞0，当且仅当a=b时取“=“，并且证明本题时注意“=“成立的条件．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知tanα=
    1
    2
    ，求
    2cosα-3sinα
    3cosα+4sinα
    的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）已知f（x）=
    lnx
    x
    ，g（x）=（x-e）2+
    1
    e
    ，x＞0，求f（x）的最大值；比较f（x）与g（x）的大小并说明理由．
    （2）已知函数f（x）=tanx-x，0＜x＜
    π
    2
    ，证明：当0＜x＜
    π
    2
    时，tanx＞x．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设集合U={不大于10的自然数}，A、B是U的两个子集，已知A∩B={5，7}，∁UA∩∁UB={0，2，4，9}，∁UA∩B={1，8}，用韦恩图求集合A、B．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    求函数f（x）=x2+2xcosθ+1，x∈[-
    		3
    2
    ，
    1
    2
    ]．
    （1）当θ=
    π
    3
    时，求f（x）的最大值和最小值；
    （2）若f（x）在区间[-
    		3
    2
    ，
    1
    2
    ]上是单调递增函数，θ∈R，求θ的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    ka2
    =1（a＞0，0＜k＜1）与x轴正半轴交点为A，若椭圆上存在一点M，使AM⊥OM，求k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （Ⅰ）设a，b均为正数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．
    （Ⅱ）已知a，b，c∈R+求证：
    a2+b2+c2
    3
    ≥
    a+b+c
    3
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    哈尔滨市五一期间决定在省妇女儿中心举行中学生“蓝天绿树、爱护环境”围棋比赛，规定如下：两名选手比赛时每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多3分或打满7局时停止．设某学校选手甲和选手乙比赛时，甲在每局中获胜的概率为p（p＞
    1
    2
    ），且各局胜负相互独立．已知第三局比赛结束时比赛停止的概率为
    1
    3
    ．
    （1）求p的值；
    （2）求甲赢得比赛的概率；
    （3）设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知动圆M在y轴右侧与圆F：（x-1）2+y2=1外切，又与y轴相切．
    （1）求圆心M的轨迹C的方程；
    （2）已知点P在轨迹C上，过点F作直线l与PF垂直，记l与直线x=-1的交点为R，试探究直线PR与轨迹C是否存在唯一交点，并说明理由．

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