Question

设非零复数x，y满足　x²+xy+y²=0，则代数式　（

x

x+y

）²⁰⁰⁵+（

y

x+y

）²⁰⁰⁵的值是

 

．

Answer 1

分析：将已知方程变形解得

x

y

= -

1

2

 ±

3

2

i=ω，利用ω³=1，1+ω=-ω²，及2005=3×668+1 化简原式可得答案．

解答：解：将已知方程变形为　(

x

y

)2+

x

y

=1，解这个一元二次方程，得

x

y

= -

1

2

 ±

3

2

i=ω，
显然有ω³=1，1+ω=-ω²，而 2005=3×668+1，
则原式=（

x

x+y

）²⁰⁰⁵+（

y

x+y

）²⁰⁰⁵ =

ω2005

(1+ω )2005

+

1

(1+ω )2005

=

ω

(-ω2)2005

+

1

(-ω2)2005

=

1+ω

-ω2

=1，
故答案为1．

点评：本题考查复数乘法的棣莫弗公式的应用，实系数一元二次方程在判别式小于0时的解法．