Question

【题目】以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为 （t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ． （Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由ρsin2θ=4cosθ，得（ρsinθ）2=4ρcosθ， ∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入y2=4x，得t2sin2α﹣4tcosα﹣4=0．
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2 ，
则t1+t2= ，t1t2=﹣ ，
∴|AB|=|t1﹣t2|= = = ，
当α= 时，|AB|的最小值为4．
【解析】（1）利用 即可化为直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=4x，利用根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义即可得出．