Question

3．在△ABC中，$\frac{π}{3}$≤B≤$\frac{π}{2}$，求证：a+c≤2b．

Answer 1

分析 由正弦定理及和差化积可得原命题等价于：2sin$\frac{A+C}{2}$•cos$\frac{A-C}{2}$≤2sinB，可证$\frac{A+C}{2}≤B$，由B≤$\frac{π}{2}$，则可证sin$\frac{A+C}{2}$≤sinB，又cos$\frac{A-C}{2}$≤1，即可得证．

解答 证明：由正弦定理可得 a+c≤2b 等价于sinA+sinC≤2sinB，
左边和差化积 sinA+sinC=2sin$\frac{A+C}{2}$•cos$\frac{A-C}{2}$≤2sinB，
因为A+B+C=π，$\frac{π}{3}$≤B≤$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$≤A+C≤2*$\frac{π}{3}$，2*$\frac{π}{3}$≤2B≤π，所以A+C≤2B
所以$\frac{A+C}{2}≤B$，
因为B≤$\frac{π}{2}$，则sin$\frac{A+C}{2}$≤sinB，
又cos$\frac{A-C}{2}$≤1 所以成立，
所以a+c≤2b．

点评 本题主要考查了正弦定理及和差化积公式，正弦函数，余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．