Question

5．已知非空集合M满足M⊆{0，1，2，…，n}（n≥2，n∈N⁺）．若存在非负整数k（k≤n），使得当a∈M时，均有2k-a∈M，则称集合M具有性质P．设具有性质P的集合M的个数为f（n）．
（1）求f（2）的值；
（2）求f（n）的表达式．

Answer 1

分析 （1）当n=2时，M={0}，{1}，{2}，{0，2}，{0，1，2}具有性质P，求出对应的k，即可得出．
（2）可知当n=k时，具有性质P的集合M的个数为f（t），当n=k+1时，f（t+1）=f（t）+g（t+1），其中g（t+1）表达t+1∈M也具有性质P的集合M的个数，
计算g（t+1）关于t的表达式，此时应有2k≥t+1，即$k≥\frac{t+1}{2}$，故对n=t分奇偶讨论，利用集合M具有性质P即可得出．

解答 解：（1）当n=2时，M={0}，{1}，{2}，{0，2}，{0，1，2}具有性质P，
对应的k分别为0，1，2，1，1，故f（2）=5．
（2）可知当n=k时，具有性质P的集合M的个数为f（t），
则当n=k+1时，f（t+1）=f（t）+g（t+1），
其中g（t+1）表达t+1∈M也具有性质P的集合M的个数，
下面计算g（t+1）关于t的表达式，
此时应有2k≥t+1，即$k≥\frac{t+1}{2}$，故对n=t分奇偶讨论，
①当t为偶数时，t+1为奇数，故应该有$k≥\frac{t+2}{2}$，
则对每一个k，t+1和2k-t-1必然属于集合M，且t和2k-t，…，k和k共有t+1-k组数，每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合M，
故对每一个k，对应的具有性质P的集合M的个数为$C_{t+1-k}^0+C_{t+1-k}^1+…+C_{t+1-k}^{t+1-k}={2^{t+1-k}}$，
所以$g（t+1）={2^{\frac{t}{2}}}+{2^{\frac{t-2}{2}}}+…+{2^1}+1=2×{2^{\frac{t}{2}}}-1$，
②当t为奇数时，t+1为偶数，故应该有$k≥\frac{t+1}{2}$，
同理$g（t+1）={2^{\frac{t+1}{2}}}+{2^{\frac{t-1}{2}}}+…+{2^1}+1=2\sqrt{2}×{2^{\frac{t}{2}}}-1$，
综上，可得$f（t+1）=\left\{\begin{array}{l}f（t）+2×{2^{\frac{t}{2}}}-1，t为偶数\\ f（t）+2\sqrt{2}×{2^{\frac{t}{2}}}-1，t为奇数\end{array}\right.$又f（2）=5，
由累加法解得$f（t）=\left\{\begin{array}{l}6×{2^{\frac{t}{2}}}-t-5，t为偶数\\ 4×{2^{\frac{t+1}{2}}}-t-5，t为奇数\end{array}\right.$
即$f（n）=\left\{\begin{array}{l}6×{2^{\frac{n}{2}}}-n-5，n为偶数\\ 4×{2^{\frac{n+1}{2}}}-n-5，n为奇数.\end{array}\right.$．

点评 本题考查了集合的运算性质、元素与集合之间的关系、组合数的计算公式、新定义，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．