Question

1．已知椭圆$E：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$的右焦点为F，过F作互相垂直的两条直线分别与E相交于A，C和B，D四点．
（1）四边形ABCD能否成为平行四边形，请说明理由；
（2）求四边形ABCD面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD为菱形，运用椭圆的对称性可得AC垂直于x轴，则BD垂直于y轴，四边形ABCD不能成为平行四边形；
（2）讨论当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的方程为y=k（x-1），（k≠0），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式可得|AC|，将k换为-$\frac{1}{k}$得|BD|，由四边形的面积公式，运用换元法和基本不等式，可得最小值；考虑直线AC的斜率为0或不存在，分别求得面积，即可得到面积的最小值．

解答 解：设点A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
（1）若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD为菱形，
∴AC与BD在点F处互相平分，又F的坐标为（1，0）．
∴y₁+y₂=0，由椭圆的对称性知AC垂直于x轴，则BD垂直于y轴，
显然这时ABCD不是平行四边形．
∴四边形ABCD不可能成为平行四边形．
（2）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的方程为y=k（x-1），（k≠0）
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$消去y得，（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$．
∴|AC|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）^{2}-\frac{8（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$，
将k换为-$\frac{1}{k}$得，$|{BD}|=\frac{{2\sqrt{2}（{k^2}+1）}}{{{k^2}+2}}$，
则S=$\frac{1}{2}$|AC|•|BD|=$\frac{{4{{（{k^2}+1）}^2}}}{{（2{k^2}+1）（{k^2}+2）}}$．
令k²+1=t，则S=$\frac{4{t}^{2}}{（2t-1）（t+1）}$=$\frac{4{t}^{2}}{2{t}^{2}+t-1}$
=$\frac{4}{2+\frac{1}{t}-\frac{1}{{t}^{2}}}$=$\frac{4}{-（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}}$≥$\frac{16}{9}$．
当$\frac{1}{t}$=$\frac{1}{2}$，即t=2，k=±1时，面积S取得最小值$\frac{16}{9}$，
当直线AC的斜率不存在时，|AC|=$\sqrt{2}$，|BD|=2$\sqrt{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|AC|?|BD|=2．
当直线AC的斜率为零时，|AC|=2$\sqrt{2}$，|BD|=$\sqrt{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|AC|?|BD|=2．
∵2＞$\frac{16}{9}$，∴四边形ABCD面积的最小值为$\frac{16}{9}$．

点评 本题考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及基本不等式，考查分类讨论的思想方法和推理、运算能力，属于中档题．