Question

9．已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（t，8）到焦点F的距离是$\frac{5}{4}t$．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F的直线与抛物线C交于A，B两点，是否存在一个定圆与以AB为直径的圆内切，若存在，求该定圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的定义，结合M在抛物线上，即可求抛物线C的方程；
（2）设直线l的方程为x=my+2，与抛物线方程联立，可得y²-8my-16=0，由抛物线的对称性可知，若定圆存在，则其圆心必在x轴上，设圆的方程为（x-a）²+y²=r²，得到（4m²+2-a）²+16m²=（4m²+4-r）²，建立方程组，即可得出结论．

解答 解：（1）由抛物线的定义得|MF|=t+$\frac{p}{2}$，
∵M（t，8）到焦点F的距离是$\frac{5}{4}t$，
∴t+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{4}t$，
∴t=2p，
∴M（2p，8），代入抛物线方程得到p=4，
∴抛物线C的方程为y²=8x；
（2）设直线l的方程为x=my+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
与抛物线方程联立，可得y²-8my-16=0，∴y₁+y₂=8m，
设A，B的中点为M，则y_M=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=4m，x_M=4m²+2，
|AB|=x₁+x₂+p=8m²+8，
由抛物线的对称性可知，若定圆存在，则其圆心必在x轴上，
设圆的方程为（x-a）²+y²=r²，
∴（4m²+2-a）²+16m²=（4m²+4-r）²，
∴（32-8a）m²+（2-a）²=（32-8r）m²+（4-r）²，
∴$\left\{\begin{array}{l}{32-8a=32-8r}\\{（2-a）^{2}=（4-r）^{2}}\end{array}\right.$，
∴a=3，r=3．
∴定圆的方程为（x-3）²+y²=9．

点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．