【题目】已知函数,
.
(1)求直线与曲线
相切时,切点
的坐标;
(2)当时,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)(1,0)(2)
【解析】
求出函数
的导函数
,设所求切点
的坐标为
,利用导数的几何意义可得切线的斜率为
,再由切点
满足函数
和
,从而得到关于
的方程组,解方程即可;
当
时,
恒成立,等价于
对
恒成立.
构造函数,则
,
,
分两种情况和
利用导数讨论函数
单调性及最值即可.
因为函数
,所以
,
设直线与曲线
相切的切点
的坐标为
,
则,整理化简得
.
令,则
,
∴在
上单调递减,
∴由零点存在性定理可得,在
最多有一个实数根.
又∵,∴
,此时
,
即切点的坐标为(1,0).
(2)当时,
恒成立,等价于
对
恒成立.
令,则
,
.
①当,
时,
,
∴,
在
上单调递增,因此
符合题意.
②当时,令
得
.
由与
得,
.
∴当时,
,
单调递减,
∴当时,
,不符合题意;
综上所述得,的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知分别为椭圆
的左、右焦点,
为该椭圆的一条垂直于
轴的动弦,直线
与
轴交于点
,直线
与直线
的交点为
.
(1)证明:点恒在椭圆
上.
(2)设直线与椭圆
只有一个公共点
,直线
与直线
相交于点
,在平面内是否存在定点
,使得
恒成立?若存在,求出该点坐标;若不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,是坐标原点,过
的直线分别交抛物线
于
、
两点,直线
与过点
平行于
轴的直线相交于点
,过点
与此抛物线相切的直线与直线
相交于点
.则
( )
A. B.
C.
D.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支,其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形,挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷,最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示),按上述操作7次后,“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为( )
A.B.
C.
D.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知F为抛物线的焦点,过F的动直线交抛物线C于A,B两点.当直线与x轴垂直时,
.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线AB与抛物线的准线l相交于点M,在抛物线C上是否存在点P,使得直线PA,PM,PB的斜率成等差数列?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】定义:若数列满足所有的项均由
,1构成且其中
有
个,1有
个
,则称
为“
数列”.
(1),
,
为“
数列”
中的任意三项,则使得
的取法有多少种?
(2),
,
为“
数列”
中的任意三项,则存在多少正整数对
使得
,且
的概率为
.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com