解:(1)由
=
及
解得
a2=4,
b2=3,
椭圆方程为
;…………………………………………………………2分
设
A(
x1,
y1)、
B(
x2,
y2),
由
得
(
x1+
x2-2,
y1+
y2-3)=
m(1,
),即
又
,
,两式相减得
;………………………6分
(2)设
AB的方程为
y=
,代入椭圆方程得:
x2-
tx+
t2-3=0,
△=3(4-
t2),|
AB|=
,
点
P到直线
AB的距离为
d=
,
S△PAB =
=
(-2<
t<2).……………….10分
令
f(
t) =3(2-
t)
3(2+
t),则
f’(
t)=-12(2-
t)
2(
t+1),由
f’(
t)=0得
t=-1或2(舍),
当-2<
t<-1时,
f’(
t)>0,当-1<
t<2时
f’(
t)<0,所以当
t=-1时,
f(
t)有最大值81,
即△
PAB的面积的最大值是
;
根据韦达定理得
x1+
x2=
t=-1,而
x1+
x2=2+
m,所以2+
m=-1,得
m=-3,
于是
x1+
x2+1=3+
m=0,
y1+
y2+
=3+
+
=0,
因此△
PAB的重心坐标为(0,0).……………………………………………………13分