Question

6．等差数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₂=1，S₁₀=-25．
（Ⅰ）求通项a_n；
（Ⅱ）若b_n=a_n²-（a_n+1）²，求数列{|b_n|}的前n项的和T_n（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）通过设数列{a_n}的公差为d，利用a₂=a₁+d=1、S₁₀=10a₁+45d=-25计算即得结论；
（2）通过a_n=-n+3可知b_n=2n-7，通过分n≤3、n≥4两种情况讨论即可．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
则a₂=a₁+d=1，S₁₀=10a₁+45d=-25，
∴a₁=2，d=-1，
∴a_n=2-（n-1）=-n+3；
（2）∵a_n=-n+3，
∴b_n=a_n²-（a_n+1）²=（-n+3）²-（-n+3+1）²=2n-7，
∴当n≤3时|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=-（b₁+b₂+…b_n）=$\frac{{{n^2}-5n}}{2}$，
当n≥4时|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=-（b₁+b₂+b₃）+b₄+…+b_n
=$\frac{{-{n^2}+5n}}{2}-2（{{b_1}+{b_2}+{b_3}}）$
=$\frac{{-{n^2}+5n}}{2}+18$，
综上可得T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}-5n}{2}，}&{n≤3}\\{\frac{-{n}^{2}+5n}{2}+18，}&{n≥4}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．