Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+1（x＜1）}\\{\frac{lnx}{x}（x≥1）}\end{array}\right.$，参数k∈[-1，1]，则方程f（x）-kx=0有四个实数根的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{2e}$
• D． $\frac{1}{4e}$

Answer 1

分析 画出函数f（x）的图象，要使方程f（x）-kx=0有四个实数根，只要函数f（x）与直线y=kx由四个交点即可，利用数形结合求k的范围以及导数进行求解，然后利用几何概型公式求概率．

解答 解：函数f（x）的图形如图，要使方程f（x）-kx=0有四个实数根，
即使直线y=kx与函数f（x）图象有四个交点，
当直线y=kx与f（x）相切时，
设切线斜率为k，（k＞0），切点为（m，n），
则刚x≥1时，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
则k=f′（m）=$\frac{1-lnm}{{m}^{2}}$，
则对应的切线方程为y-n=$\frac{1-lnm}{{m}^{2}}$（x-m），
即y=$\frac{1-lnm}{{m}^{2}}$x-$\frac{1-lnm}{m}$+$\frac{lnm}{m}$，
∵切线方程为y=kx，
则k=$\frac{1-lnm}{{m}^{2}}$，-$\frac{1-lnm}{m}$+$\frac{lnm}{m}$=0，
即2lnm=1，解得m=$\sqrt{e}$，
此时k=$\frac{1-lnm}{{m}^{2}}$=$\frac{1-ln\sqrt{e}}{e}$=$\frac{1}{2e}$，
则方程f（x）-kx=0有四个实的k的范围是（0，$\frac{1}{2e}$），
又k∈[-1，1]，由几何概型的公式可得方程f（x）-kx=0有四个实数根的概率为P=$\frac{\frac{1}{2e}}{2}=\frac{1}{4e}$；
故选D．

点评 本题考查几何概型的概率公式的应用，方程根的个数，利用导数求切线斜率；利用数形结合是解决本题的关键．，综合性较强难度较大．