Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足4S_n=（a_n+1）²．设b_n=a${\;}_{{2}^{n-1}}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N^*），则T_n=-2-n+2ⁿ⁺¹，当T_n＞2015时，n的最小值为10．

Answer 1

分析 通过4S_n=（a_n+1）²与4S_n+1=（a_n+1+1）²作差、整理得（a_n+1-1）²=（a_n+1）²，进而数列{a_n}是首项为1、公差为2的等差数列，通过b_n=2ⁿ-1可知T_n=-2-n+2ⁿ⁺¹，进而解不等式T_n＞2015即-n+2ⁿ⁺¹＞2017，计算即得结论．

解答 解：∵4S_n=（a_n+1）²，
∴4S_n+1=（a_n+1+1）²，
两式相减得：4a_n+1=（a_n+1+1）²-（a_n+1）²，
整理得：（a_n+1-1）²=（a_n+1）²，
又∵数列{a_n}各项均为正数，
∴a_n+1-1=a_n+1，即a_n+1=a_n+2，
又∵4S₁=4a₁=（a₁+1）²，即a₁=1，
∴数列{a_n}是首项为1、公差为2的等差数列，
∴a_n=2n-1，
∴b_n=${a}_{{2}^{n-1}}$=2•2^n-1-1=2ⁿ-1，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n
=-2-n+2ⁿ⁺¹，
依题意T_n＞2015即-n+2ⁿ⁺¹＞2017，
解得：n≥10，
故答案为：-2-n+2ⁿ⁺¹，10．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．