Question

5．已知数列{a_n}前n项和为S_n，且S_n =2n-10-3a_n（n∈N^*）．
（1）试问数列{a_n-2}是否为等比数列，请说明理由；
（2）求数列{S_n}的通项公式，请指出n为何值时，S_n 取得最小值，并说明理由．（其中lg2≈0.3，lg3≈0.4）

Answer 1

分析 （1）通过S_n =2n-10-3a_n与S_n+1 =2n+1-10-3a_n+1作差、整理得a_n+1-2=$\frac{3}{4}$（a_n-2），进而数列{a_n-2}是以-4为首项、$\frac{3}{4}$为公比的等比数列；
（2）通过（1）可知S_n=2n-10-3a_n=-16+2n+12•$（\frac{3}{4}）^{n-1}$，通过建立数列的相邻两项的不等式求解，再研究其单调性即可得出S_n取得最小值及对应的n的值．

解答 解：（1）结论：数列{a_n-2}是以-4为首项、$\frac{3}{4}$为公比的等比数列．
理由如下：
∵S_n =2n-10-3a_n，
∴S_n+1 =2n+1-10-3a_n+1，
两式相减得：a_n+1=2+3a_n-3a_n+1，
整理得：a_n+1-2=$\frac{3}{4}$（a_n-2），
又∵a₁=2-10-3a₁，即a₁-2=-4，
∴数列{a_n-2}是以-4为首项、$\frac{3}{4}$为公比的等比数列；
（2）由（1）可知：a_n-2=-4•$（\frac{3}{4}）^{n-1}$，
∴S_n=2n-10-3[2-4•$（\frac{3}{4}）^{n-1}$]=-16+2n+12•$（\frac{3}{4}）^{n-1}$，
由S_n＜S_n+1，即-16+2n+12•$（\frac{3}{4}）^{n-1}$＜-16+2（n+1）+12•$（\frac{3}{4}）^{n}$，
整理得：$（\frac{3}{4}）^{n-1}$＜$\frac{2}{3}$，
两边同时取对数，得：（n-1）lg$\frac{3}{4}$＜lg$\frac{2}{3}$，
解得：n＞1+$\frac{lg2-lg3}{lg3-2lg2}$≈1+$\frac{0.3-0.4}{0.4-2•0.3}$=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴当n≥2时，数列{S_n}随着n的增大而增大，
∵S₁=-16+2+12=-2，S₂=-16+4+9=-3，
∴当n=2时，S_n 取得最小值．

点评 本题考查等比关系的确定，由a_n与S_n的关系式的应用，解注意对数列的函数的特性的研究方法：即研究相邻两项大小再确定其单调性，从而求了最值，难度较大．