Question

4．已知焦点在x轴上的椭圆C的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，短轴长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若将坐标原点平移到O′（-1，1），求椭圆C在新坐标系下的方程；
（3）斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，若$|{PQ}|=\sqrt{6}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）通过短轴长、离心率及a²=b²+c²，计算即得结论；
（2）将x=x′-1、y=y′+1代入椭圆方程即可；
（3）通过设直线方程为y=x+m并与椭圆方程联立，利用韦达定理、完全平方公式及两点间距离公式计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，2b=2，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$a=\sqrt{3}$，b=1，
又∵焦点在x轴上，
∴椭圆C方程为：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$；
（2）∵坐标原点平移到（-1，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}x={x^'}-1\\ y={y^'}+1\end{array}\right.$，
∴新坐标系下的方程为：${\frac{{（{{x^'}-1}）}}{3}^2}+{（{{y^'}+1}）^2}=1$；
（3）设直线方程为y=x+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\ \frac{x^2}{3}+{y^2}=1\end{array}\right.$，消去y、整理得：4x²+6mx+3m²-3=0，
∴$x{\;}_1+{x_2}=-\frac{3m}{2}$、${x_1}{x_2}=\frac{{3{m^2}-3}}{4}$，
又∵$|{PQ}|=\sqrt{6}$，
∴$\sqrt{6}$=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（x{\;}_1+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$
=$\sqrt{2}\sqrt{\frac{{9{m^2}}}{4}-4×\frac{{3{m^2}-3}}{4}}$，
解得：m=0，
∴直线方程为：y=x．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．