Question

9．解关于x的不等式（m+3）x²+（m+2）x-1＞0（m∈R）．

Answer 1

分析 讨论m+3=0与m+3≠0时，不等式对应的方程是什么，不等式的解集是什么，
分别求出对应不等式的解集即可．

解答 解：当m+3=0即m=-3时，不等式化为-x-1＞0，解得x＜-1；
当m+3≠0即m≠-3时，不等式化为[（m+3）x-1]（x+1）＞0，
且不等式对应的方程两个实数根为x=$\frac{1}{m+3}$和x=-1；
若m=-4，则$\frac{1}{m+3}$=-1=-1，不等式化为（x+1）²＜0，此时无解；
若m＜-4，则0＞$\frac{1}{m+3}$＞-1，不等式化为（x-$\frac{1}{m+3}$）（x+1）＜0，解得-1＜x＜$\frac{1}{m+3}$；
若-3＞m＞-4，则$\frac{1}{m+3}$＜-1，不等式化为（x-$\frac{1}{m+3}$）（x+1）＜0，解得$\frac{1}{m+3}$＜x＜-1；
若m＞-3，则$\frac{1}{m+3}$＞0＞-1，不等式化为（x-$\frac{1}{m+3}$）（x+1）＞0，解得x＜-1或x＞$\frac{1}{m+3}$；
所以，m=-3时，不等式的解集为{x|x＜-1}；
m=-4时，不等式的解集为∅，
m＜-4时，不等式的解集为{x|-1＜x＜$\frac{1}{m+3}$}，
-4＜m＜-3时，不等式的解集为{x|$\frac{1}{m+3}$＜x＜-1}，
m＞-3时，不等式的解集为{x|x＜-1或x＞$\frac{1}{m+3}$}

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．