在平面直角坐标系xOy中.曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα+1}\\{y=2sinα}{\;}\end{array}\right.$．以平面直角坐标系的原点O为极点.x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．(Ⅰ)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程,(Ⅱ)求曲线C1� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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9．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα+1}\\{y=2sinα}{\;}\end{array}\right.$（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C₁和C₂公共弦的长度．

分析（I）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα+1}\\{y=2sinα}{\;}\end{array}\right.$（α为参数），利用cos²α+sin²α=1消去参数α可得普通方程．曲线C₂的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．
（II）两圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在的直线方程：2x-4y+3=0．求出圆心C₁到公共弦所在的直线的距离d．利用公共弦长=2$\sqrt{{r}_{1}^{2}-{d}^{2}}$即可得出．

解答解：（I）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα+1}\\{y=2sinα}{\;}\end{array}\right.$（α为参数），消去参数α可得普通方程：（x-1）²+y²=4，即x²+y²-2x=3．
曲线C₂的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x²+y²=4y，配方为x²+（y-2）²=4．
（II）x²+y²-2x=3与x²+y²=4y相减可得公共弦所在的直线方程：2x-4y+3=0．
圆心C₁（1，0）到公共弦所在的直线的距离d=$\frac{|2+3|}{\sqrt{{2}^{2}+（-4）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴公共弦长=2$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{11}$．

点评本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、两相交圆的公共弦长、点到直线的距离公式公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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