Question

17．定义g（x）=f（x）-x的零点x₀为f（x）的不动点，已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）当a=1，b=-2时，求函数的不动点；
（2）对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）若函数g（x）只有一个零点且b＞1，求实数a的最小值．

Answer 1

分析 （1）代入求出f（x）的表达式，根据零点的概念求出不动点；
（2）把动点问题转化为二次函数有解恒成立问题，求解即可；
（3）动点问题转化为二次函数有一解得出4a=$\frac{{b}^{2}}{b-1}$，利用分离参数法得出4a=$\frac{{b}^{2}}{b-1}$=（b-1）+$\frac{1}{b-1}$+2，由均值不等式得出答案．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-x-3
$\begin{array}{l}{x^2}-x-3-x=0，\\ x=3或-1\end{array}$
函数f（x）的不动点为3，-1；…（3分）
（2）对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，
则对于任意实数b，f（x）-x=0恒有两个不等的实数根
∴ax²+bx+b-1=0，△＞0恒成立，
∴b²-4a（b-1）＞0，
∴b²-4ab+4a＞0对任意实数b都成立，
∴△=16a²-16a＜0，
∴0＜a＜1…（8分）；
（3）g（x）=ax²+bx+b-1，函数g（x）只有一个零点，b＞1
则△=0，
∴b²-4ab+4a=0，
∴4a=$\frac{{b}^{2}}{b-1}$=（b-1）+$\frac{1}{b-1}$+2≥4，
当且仅当b=2时等号成立，
∵a≥1，
a的最小值为1．…（12分）

点评 本题考查了对题意的理解和二次函数的应用，分离常数法的应用．