Question

5．设函数f（x）=lnx-ax+$\frac{1-a}{x}$-1
（1）若f（x）在$[{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}]$上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）当a＞$\frac{1}{3}$时，设函数g（x）=x²-2x-1，若?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，2]，使f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用f（x）在$[{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}]$上单调递增，分离参数，即可求实数a的取值范围；
（2）分类讨论，利用f（x）_min≥g（x）_min，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-ax+$\frac{1-a}{x}$-1，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a-$\frac{1-a}{{x}^{2}}$≥0，
∴x∈$[{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}]$，
∴a≥$\frac{1}{1+x}$，
∴a≥$\frac{4}{5}$；
（2）∵g（x）=x²-2x-1，∴g′（x）=2x-2，
∴x∈[0，1]，g′（x）＜0，x∈[1，2]，g′（x）＞0，
∴x=1，g（x）_min=-2，
f′（x）=$\frac{1}{x}$-a-$\frac{1-a}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（-ax+1-a）}{{x}^{2}}$
$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$时，函数在（0，1），（$\frac{1-a}{a}$，2）上单调递减，
（1，$\frac{1-a}{a}$）上单调递增，f（x）_min=f（1）=-2a，∴-2a≥-2
∴a≤1，∴$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$；
a=$\frac{1}{2}$时，函数在[1，2]上单调递减，f（x）_min=f（2）=ln2-$\frac{5}{2}a$-$\frac{1}{2}$=ln2-$\frac{7}{4}$＞-2，满足题意；
，∴-2a≥-2
a＞$\frac{1}{2}$时，函数在[1，2]上单调递减，f（x）_min=f（2）=ln2-$\frac{5}{2}a$-$\frac{1}{2}$≥-2，
∴a≤$\frac{2}{5}$ln2+$\frac{3}{5}$，∴$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{2}{5}$ln2+$\frac{3}{5}$，
综上所述，$\frac{1}{3}$＜a≤$\frac{2}{5}$ln2+$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查导数的应用，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．