Question

10．在△ABC中，点D为AC的中点，点E在DB的延长线上，且$\overrightarrow{DB}$=2$\overrightarrow{BE}$，点M在线段BE上，若$\overrightarrow{AM}$=$λ\overrightarrow{AB}$+$μ\overrightarrow{AC}$，则λ+μ的取值范围是[1，$\frac{5}{4}$]．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算法则，表示出向量$\overrightarrow{DB}$、$\overrightarrow{BE}$与$\overrightarrow{BM}$，写出向量$\overrightarrow{AM}$，求出λ与μ，计算λ+μ的最值即可．

解答 解：如图所示，
△ABC中，点D为AC的中点，
∴$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$；
又$\overrightarrow{DB}$=2$\overrightarrow{BE}$，
∴$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$；
设$\overrightarrow{BM}$=x$\overrightarrow{BE}$（0≤x≤1），
则$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BM}$
=$\overrightarrow{AB}$+x$\overrightarrow{BE}$
=$\overrightarrow{AB}$+x（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$）
=（1+$\frac{1}{2}$x）$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{4}$x$\overrightarrow{AC}$
=$λ\overrightarrow{AB}$+$μ\overrightarrow{AC}$，
∴λ=（1+$\frac{1}{2}$x），μ=-$\frac{1}{4}$x，
∴λ+μ=1+$\frac{1}{4}$x，
当x=0时，λ+μ=1为最小值，
当x=1时，λ+μ=$\frac{5}{4}$为最大值，
∴λ+μ的取值范围是[1，$\frac{5}{4}$]．
故答案为：[1，$\frac{5}{4}$]．

点评 本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了求函数最值的应用问题，是综合性题目．