Question

18．以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知A（2，π），B（2，$\frac{π}{2}$），圆C的极坐标方程为ρ²-6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．F为圆C上的任意一点．
（1）写出圆C的参数方程；
（2）求△ABF的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）圆C的极坐标方程为ρ²-6ρcosθ+8ρsinθ+21=0，利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，x=ρcosθ即可化为直角坐标方程，利用cos²α+sin²α=1可得参数方程．
（2）A（2，π），B（2，$\frac{π}{2}$），分别化为直角坐标：A（-2，0），B（0，2）．可得|AB|=2$\sqrt{2}$，直线AB的方程为：x-y+2=0．因此圆C上的点F到直线AB的距离取得最大值时，△ABF的面积取得最大值．

解答 解：（1）圆C的极坐标方程为ρ²-6ρcosθ+8ρsinθ+21=0，化为直角坐标方程：x²+y²-6x+8y+21=0，
配方为：（x-3）²+（y+4）²=4，可得圆心C（3，-4），r=2．
可得参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosα}\\{y=-4+2sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．
（2）A（2，π），B（2，$\frac{π}{2}$），分别化为直角坐标：A（-2，0），B（0，2）．
可得|AB|=2$\sqrt{2}$，直线AB的方程为：$\frac{x}{-2}+\frac{y}{2}$=1，即x-y+2=0．
因此圆C上的点F到直线AB的距离取得最大值时，△ABF的面积取得最大值．
求出圆心C到直线AB的距离d=$\frac{|3-（-4）+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．
∴△ABF的面积的最大值S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×（\frac{9\sqrt{2}}{2}+2）$=9+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．