Question

3．已知曲线f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx-k，x＜1}\\{{x}^{2}-4x+3，x≥1}\end{array}\right.$与曲线g（x）=log₂x有两个交点，则k的取值范围为（-∞，$\frac{1}{ln2}$）．

Answer 1

分析 先作出当x≥1时，f（x）=x²-4x+3与g（x）=log₂x的图象如图，此时满足f（x）与g（x）有两个交点，则条件转化为当x＜1时，函数f（x）=k（x-1）与g（x）没有交点，求函数的导数，利用导数和数形结合进行求解即可．

解答 解：先作出当x≥1时，
f（x）=x²-4x+3与g（x）=log₂x的图象如图：
此时f（x）与g（x）有两个交点，
则当x＜1时，函数f（x）=k（x-1）与g（x）没有交点，
当k＜0时，满足条件，
当k=0时，f（x）=0，满足条件．
当k＞0时，
当直线y=k（x-1）与g（x）在（1，0）处相切时，
则g′（x）=$\frac{1}{xln2}$，
则g′（1）=$\frac{1}{ln2}$，此时k=$\frac{1}{ln2}$，
若当x＜1时，函数f（x）=k（x-1）与g（x）没有交点，
在0＜k＜$\frac{1}{ln2}$，
综上所述，k＜$\frac{1}{ln2}$，
故答案为：（-∞，$\frac{1}{ln2}$）．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合以及导数的应用是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．