Question

8．设f（x）=x³+ax²+bx+1的导函数f′（x）满足f′（x）=2a，f′（2）=-b，
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）设g（x）=f′（x）e^x，求函数g（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据已知中f（x）=x³+ax²+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x），结合f'（1）=2a，f'（2）=-b，计算出参数a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求导数，利用导数的正负，可得函数g（x）的单调区间．

解答 解：（1）因为f（x）=x³+ax²+bx+1，所以f'（x）=3x²+2ax+b．…..（2分）
令x=1得f'（1）=3+2a+b．
由已知f'（1）=2a，所以3+2a+b=2a．解得b=-3．
又令x=2得f'（2）=12+4a+b．
由已知f'（2）=-b，所以12+4a+b=-b，解得a=-$\frac{3}{2}$．…..（4分）
所以f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²-3x+1，f（1）=-$\frac{5}{2}$．
又因为f′（1）=-3，…．（6分）
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-（-$\frac{5}{2}$）=-3（x-1），即6x+2y-1=0．…..（8分）
（2）g（x）=f′（x）e^x=（3x²-3x-3）e^x，∴g′（x）=3（x-1）（x+2）e^x，
由g′（x）＞0，可得x＜-2或x＞1，函数的单调递增区间是（-∞，-2），（1，+∞）
由g′（x）＜0，可得-2＜x＜1，函数的单调递减区间是（-2，1）．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数的单调区间，以及方程组的求解等有关问题，属于中档题．