Question

18．直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2（sinθ+cosθ），直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-1+t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（Ⅰ）写出圆C和直线l的普通方程；
（Ⅱ）点P为圆C上动点，求点P到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知圆C的极坐标方程为ρ=2（sinθ+cosθ），即ρ²=2ρ（sinθ+cosθ），利用极坐标与直角坐标互化公式可得直角坐标方程．由直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-1+t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程．
（Ⅱ）由圆的几何性质知点P到直线l的距离的最小值为圆心C到直线l的距离减去圆的半径，利用点到直线的距离公式可得圆心C到直线l的距离为d，进而得出．

解答 解：（Ⅰ）由已知圆C的极坐标方程为ρ=2（sinθ+cosθ），即ρ²=2ρ（sinθ+cosθ），可得直角坐标方程：x²+y²=2y+2x，
即圆C的普通方程为（x-1）²+（y-1）²=2．
由直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-1+t}\end{array}\right.$（t为参数），可得普通方程：x-y=3，∴直线l的普通方程为x-y-3=0．
（Ⅱ）由圆的几何性质知点P到直线l的距离的最小值为圆心C到直线l的距离减去圆的半径，
令圆心C到直线l的距离为d，则d=$\frac{|-1+1-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$$＞\sqrt{2}$，
∴点P到直线l的距离的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．