Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+a是奇函数．
（1）求a的值和函数f（x）的定义域；
（2）用单调性的定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（3）解不等式f（-m²+2m-1）+f（m²+3）＜0．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义建立方程即可求出a，根据分式函数的意义即可求出函数的定义域．
（2）利用函数单调性的定义，设出变量，利用作差法进行证明即可．
（3）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．

解答 解：（1）要使函数有意义，则2^x-1≠0，即2^x≠1，即x≠0，
则函数的定义域为{x|x≠0}，
∵函数f（x）=$\frac{1}{{{2^x}-1}}$+a是奇函数，可得f（x）+f（-x）=0，
∴$\frac{1}{{{2^x}-1}}$+a+$\frac{1}{{{2^{-x}}-1}}$+a=0，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴函数f（x）=$\frac{1}{{{2^x}-1}}$+$\frac{1}{2}$，
（2）由（1）得f（x）=$\frac{1}{{{2^x}-1}}$+$\frac{1}{2}$，
则f（x）在（0，+∞）上都是减函数，证明如下
任取x₁＜x₂则
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}-1}-\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}-1}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$
当x₁，x₂∈（0，+∞）时，${2}^{{x}_{1}}-1$＞0，${2}^{{x}_{2}}-1$＞0，${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$，
所以$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$＞0，
有f（x₁）-f（x₂）＞0
即f（x₁）＞f（x₂），
则f（x）=$\frac{1}{{{2^x}-1}}$+$\frac{1}{2}$在（0，+∞）上是减函数；
（3）∵函数f（x）是奇函数且在（0，+∞）上是减函数，
∴由f（-m²+2m-1）+f（m²+3）＜0
得f（m²+3）＜-f（-m²+2m-1）=f（m²-2m+1），
∵m²+3＞0，m²-2m+1=（m-1）²≥0，
∴m²+3＞m²-2m+1，且（m-1）²≠0
即2m＞-2且m≠1，得m＞-1且m≠1．

点评 本题考查了函数奇偶性的性质以及函数单调性的证明方法定义法，解题的关键是理解奇函数的定义及单调性的证明方法，本题的重点是单调性的证明，其中判断符号是难点．