Question

7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=2，点P在棱DF上．
（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（2）若二面角D-AP-C的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求PF的长度．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE与CP所成角的余弦值．
（2）求出平面APC的法向量和平面ADF的法向量，利用向量法能求出PF的长度．

解答 解：（1）∵BAF=90°，∴AF⊥AB，
又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，
∴AF⊥平面ABCD，又四边形ABCD为矩形，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AD=2，AB=AF=2EF=2，P是DF的中点，
∴B（2，0，0），E（1，0，2），C（2，2，0），P（0，1，1），
$\overrightarrow{BE}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{CP}$=（-2，-1，1），
设异面直线BE与CP所成角的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CP}|}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{CP}|}$=$\frac{4}{\sqrt{5}•\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{15}$，
∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{30}}{15}$．
（2）A（0，0，0），C（2，2，0），F（0，0，2），D（0，2，0），
设P（a，b，c），$\overrightarrow{FP}=λ\overrightarrow{FD}$，0≤λ≤1，即（a，b，c-2）=λ（0，2，-2），
解得a=0，b=2λ，c=2-2λ，∴P（0，2λ，2-2λ），
$\overrightarrow{AP}$=（0，2λ，2-2λ），$\overrightarrow{AC}$=（2，2，0），
设平面APC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=2λy+（2-2λ）z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\frac{2λ}{2-2λ}$），
平面ADF的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
∵二面角D-AP-C的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2+（\frac{2λ}{2-2λ}）^{2}}}$=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}$，
解得$λ=\frac{1}{4}$，∴P（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴PF的长度|PF|=$\sqrt{（0-0）^{2}+（\frac{1}{2}-0）^{2}+（\frac{3}{2}-2）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．