Question

2．已知函数f（x）=ax³+x²-ax（a∈R且a≠0）．
（1）若函数f（x）在（-∞，-1）和（$\frac{1}{3}，-∞$）上是增函数，在（-1，$\frac{1}{3}$）上是减函数，求a的值；
（2）讨论函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}-\frac{3}{a}$lnx的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的单调性得出f′（x）=0的实数根，利用根与系数的共线求出a的值；
（2）求出函数g（x）的导数，讨论a的取值，判断导数g′（x）的正负，从而得出g（x）的单调减区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）=ax³+x²-ax（a∈R且a≠0），
∴f′（x）=3ax²+2x-a；
当函数f（x）在（-∞，-1）和（$\frac{1}{3}，-∞$）上是增函数，在（-1，$\frac{1}{3}$）上是减函数时，
方程f′（x）=0有两个实数根-1和$\frac{1}{3}$，
∴-$\frac{2}{3a}$=-1+$\frac{1}{3}$，解得a=1；
（2）函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}-\frac{3}{a}$lnx=ax²+x-a-$\frac{3}{a}$lnx，
则g′（x）=2ax+1-$\frac{3}{ax}$=$\frac{2{{a}^{2}x}^{2}+ax-3}{ax}$（x＞0，且a≠0）；
令g′（x）=0，则$\frac{（ax-1）（ax+3）}{ax}$=0，解得x=$\frac{1}{a}$或x=-$\frac{3}{a}$；
当a＞0时，-$\frac{3}{a}$＜0＜$\frac{1}{a}$，
所以x∈（0，$\frac{1}{a}$）时，g′（x）＜0，g（x）是单调减函数，
x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）是单调增函数；
当a＜0时，$\frac{1}{a}$＜0＜-$\frac{3}{a}$，
所以x∈（0，-$\frac{3}{a}$）时，g′（x）＞0，g（x）是单调增函数；
x∈（-$\frac{3}{a}$，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）是单调减函数；
综上，a＞0时，g（x）的单调减区间是（0，$\frac{1}{a}$），a＜0时，g（x）的单调减区间是（-$\frac{3}{a}$，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了根与系数的关系与应用问题，是综合性题目．