Question

1．已知tanα=2，求
（1）$\frac{2sin（α-π）3cos（-α）}{4sin（\frac{π}{2}+α）-9cos（α-\frac{3π}{2}）}$；
（2）4sin²α-3sinαcosα-5cos²α；
（3）$\frac{1+sin2α}{1+sin2α+cos2α}$．

Answer 1

分析 根据同角的三角函数关系与三角恒等变换，利用诱导公式和弦化切公式，即可求出对应的各组数值．

解答 解：tanα=2，
（1）$\frac{2sin（α-π）3cos（-α）}{4sin（\frac{π}{2}+α）-9cos（α-\frac{3π}{2}）}$=$\frac{2•（-sinα）•3cosα}{4cosα-9•（-sinα）}$=-6•$\frac{sinα}{4+9tanα}$=-$\frac{3}{11}$sinα；
又$\frac{sinα}{cosα}$=2，
∴cosα=$\frac{1}{2}$sinα，
∴sin²α+cos²α=sin²α+$\frac{1}{4}$sin²α=$\frac{5}{4}$sin²α=1，
∴sinα=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴原式=-$\frac{3}{11}$×（±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）=±$\frac{6\sqrt{5}}{55}$；
（2）4sin²α-3sinαcosα-5cos²α=$\frac{{4sin}^{2}α-3sinαcosα-{5cos}^{2}α}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$
=$\frac{{4tan}^{2}α-3tanα-5}{{tan}^{2}α+1}$
=$\frac{4{×2}^{2}-3×2-5}{{2}^{2}+1}$
=1；
（3）$\frac{1+sin2α}{1+sin2α+cos2α}$=$\frac{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α+2sinαcosα}{2sinαcosα+{2cos}^{2}α}$
=$\frac{{（sinα+cosα）}^{2}}{2cosα（sinα+cosα）}$
=$\frac{sinα+cosα}{2cosα}$
=$\frac{1}{2}$tanα+$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$×2+$\frac{1}{2}$
=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了同角的三角函数关系与三角恒等变换，诱导公式和弦化切公式的应用问题，是基础题目．