Question

11．已知函数f（x）=|ax+1|，a∈R．
（Ⅰ）若?x∈R，f（x）+f（x-2）≥1恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（$\frac{a-1}{a}$）+f（$\frac{b-1}{a}$）+f（$\frac{c-1}{a}$）=4，求f（$\frac{{{a^2}-1}}{a}$）+f（$\frac{{{b^2}-1}}{a}$）+f（$\frac{{{c^2}-1}}{a}$）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简f（x）+f（x-2）=|ax+1|+|2a-ax-1|，由绝对值不等式可得f（x）+f（x-2）的最小值为2a，可得|2a|≥1，解得a的范围；
（Ⅱ）化简条件可得|a|+|b|+|c|=4，化简要求的式子为a²+b²+c²，由基本不等式可得所求最小值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得f（x）+f（x-2）=|ax+1|+|a（x-2）+1|
=|ax+1|+|2a-ax-1|≥|ax+1+2a-ax-1|=|2a|，
可见，|2a|≥1，即$a≥\frac{1}{2}$或$a≤-\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）由$f（\frac{a-1}{a}）+f（\frac{b-1}{a}）+f（\frac{c-1}{a}）=4$知|a|+|b|+|c|=4，
而$f（\frac{{{a^2}-1}}{a}）+f（\frac{{{b^2}-1}}{a}）+f（\frac{{{c^2}-1}}{a}）$=a²+b²+c²，
因为16=（|a|+|b|+|c|）²=a²+b²+c²+2|ab|+2|ac|+2|bc|，
又2|ab|≤a²+b²，2|ac|≤a²+c²，2|cb|≤c²+b²，
所以，16≤3（a²+b²+c²），即${a^2}+{b^2}+{c^2}≥\frac{16}{3}$，等号成立当且仅当a=b=c．
因此，$f（\frac{{{a^2}-1}}{a}）+f（\frac{{{b^2}-1}}{a}）+f（\frac{{{c^2}-1}}{a}）$的最小值是$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查绝对值不等式的性质，基本不等式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．