Question

2．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，交△ABC的外接圆于点E，延长AC交△DCE的外接圆于点F，DF=$\sqrt{14}$
（Ⅰ）求BD；
（Ⅱ）若∠AEF=90°，AD=3，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由同弧或等弧所对的圆周角相等，运用全等三角形的判定，可得△ABD≌△AFD，即可得到BD=DF；
（2）运用对应角相等，证得△DEF∽△FEA，可得EF²=ED•EA，设DE=x，求得EA，再由直角三角形DEF，运用勾股定理，解方程可得DE．

解答 解：（1）由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，
∠ABD=∠AEC，∠DEC=∠DFC，
即有∠ABD=∠AFD，
又∠BAC的平分线交BC于点D，可得∠BAD=∠FAD，
且AD=AD，可得△ABD≌△AFD，
则DB=DF=$\sqrt{14}$；
（2）由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，
∠DFE=∠DCE，∠DCE=∠BAE=∠EAC，
∴∠DFE=∠EAF，又∠DEF公用，
∴△DEF∽△FEA，
∴$\frac{EF}{EA}$=$\frac{DE}{FE}$，
∴EF²=ED•EA．
设DE=x，由AD=3，可得EA=3+x，
可得EF²=x（3+x），
在直角三角形DEF中，可得DE²+EF²=DF²，
即有x²+x（3+x）=14，
解得x=2（负的舍去）．
则DE的长为2．

点评 本题考查圆的同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形全等和相似的判定和性质、直角三角形的勾股定理的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．