Question

12．设函数f（x）=x³-3ax+b（a＞0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（2，f（x））处在直线y=8相切，建立方程组，即可求得a，b的值；
（Ⅱ）f′（x）=3（x²-4）=3（x+2）（x-2），令f′（x）＞0，可得函数的单调增区间；令f′（x）＜0，可得函数的单调减区间．

解答 解：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=3x²-3a
∵曲线y=f（x）在点（2，f（x））处在直线y=8相切
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=3（4-a）=0}\\{f（2）=8-6a+b=8}\end{array}\right.$，
∴a=4，b=24
（Ⅱ）f′（x）=3（x²-4）=3（x+2）（x-2）
令f′（x）＞0，可得x＜-2或x＞2；
令f′（x）＜0，可得-2＜x＜2
∴函数的单调增区间为（-∞，-2），（2，+∞），单调减区间为（-2，2）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确求导是关键．