Question

17．如图，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D，E，AB=12，AO=15，AD=8，求两圆的半径．

Answer 1

分析 连接OB，OC，OD，由直角三角形的勾股定理，可得半径OB=9；再由圆的切割线定理和圆的垂径定理、直角三角形的勾股定理，可得圆的半径OC．

解答 解：连接OB，OC，OD，
在直角三角形ABO中，
OB=$\sqrt{A{O}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-1{2}^{2}}$=9；
由切割线定理可得，
AB²=AD•AE，
即12²=8（8+DE），
解得DE=10，
由OC⊥DE，且C为DE的中点，
可得DC=5，
在直角三角形OCD中，
OC=$\sqrt{O{D}^{2}-D{C}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}-{5}^{2}}$=2$\sqrt{14}$．
则两圆的半径分别为9，2$\sqrt{14}$．

点评 本题考查圆的切线的性质和切割线定理的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．