Question

2．设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R都有f（x-2）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有5个不同的实数根，则a的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． （2，$\root{3}{12}$）
• C． （1，$\root{3}{4}$）
• D． （2，$\root{3}{10}$）

Answer 1

分析 由f（x）=-f（x+2），推出函数的周期是4，根据函数f（x）是偶函数，得到函数f（x）在一个周期内的图象，利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合确定满足的条件即可得到结论．

解答 解：由f（x-2）=f（x+2），得f（x+4）=f（x），即函数f（x）的周期为4，
∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，
∴若x∈[0，2]，则-x∈[-2，0]
则f（-x）=$（\frac{1}{2}）^{-x}-1={2}^{x}-1$，
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=$（\frac{1}{2}）^{-x}-1={2}^{x}-1$=f（x），
即f（x）=2^x-1，x∈[0，2]，
由f（x）-log_a（x+2）=0得f（x）=log_a（x+2），
作出函数f（x）的图象如图：如0＜a＜1，函数g（x）=log_a（x+2）单调递减，此时只有1个交点，不满足条件，（虚线图象）．
当a＞1时，要使方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有5个不同的实数根，
则等价为函数f（x）与g（x）=log_a（x+2）有5个不同的交点，
则满足A（6，3）在g（x）的上方，B（10，3）在g（x）的下方，
即$\left\{\begin{array}{l}{g（6）=lo{g}_{a}8＜3}\\{g（10）=lo{g}_{a}12＞3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{3}＞8}\\{{a}^{3}＜12}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a＜\root{3}{12}}\end{array}\right.$，解得，2＜a＜$\root{3}{12}$
故a的取值范围是（2，$\root{3}{12}$），
故选：B．

点评 本题主要考查函数零点的个数判断，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用分段函数的表达式，作出函数f（x）的图象是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．