Question

13．设函数f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²+（1-b）x．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为8x-2y-3=0，求a，b的值；
（Ⅱ）若b=a+1，x₁，x₂是f（x）的两个极值点，证明：f（x₁）+f（x₂）＜8ln2-12．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为8x-2y-3=0，建立方程求a，b的值；
（Ⅱ）确定a＞4且x₁+x₂=a，x₁x₂=a，化简f（x₁）+f（x₂），构造函数，确定函数的单调性，即可证明结论．

解答 解：（Ⅰ）根据题意可求得切点（1，2.5），f′（x）=$\frac{a}{x}$+x（1-b）
∴f（1）=0.5+1-b=2.5，f′（1）=a+1+1-b=4，解得a=1，b=-1----------（4分）
（Ⅱ）证明：∵b=a+1，∴f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²-ax，则f′（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+a}{x}$，
根据题意可得x²-ax+a=0在（0，+∞）上有两个不同的根x₁，x₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}＞0}\\{{a}^{2}-4a＞0}\\{a＞0}\end{array}\right.$解得a＞4且x₁+x₂=a，x₁x₂=a，---------------（8分）
∴f（x₁）+f（x₂）=alnx₁x₂+$\frac{1}{2}$（x₁²+x₂²）-a（x₁+x₂）=alna-$\frac{1}{2}$a²-a．
令g（x）=xlnx=$\frac{1}{2}$x²-x（x＞4），则g′（x）=lnx-x，
令h（x）=lnx-x，则当x＞4时，h′（x）=$\frac{1}{x}$-1＜0，∴h（x）在（4，+∞）上为减函数，
即h（x）＜h（4）=ln4-4＜0，
∴g（x）在（4，+∞）上为减函数，即g（x）＜g（4）=8ln2-12，
∴f（x₁）+f（x₂）＜8ln2-12------------------（12分）

点评 本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值，考查二次方程的韦达定理及运用，考查构造函数应用导数证明不等式，考查运算和逻辑推理能力，属于中档题．